유리함수와 무리함수/개정 수학 하 pdf 자료 공유/유리식, 유리함수, 무리식, 무리함수, 역함수 구하기
하단에 pdf 파일 첨부하였습니다~
수학 하 함수 단원에서 유리함수와 무리함수가 나옵니다.
이제까지 배웠던 일차, 이차, 삼차함수와는 다른 형태의 함수를 기본형으로 배우고,
대칭이동, 평행이동, 역함수 등 함수에서 나올 수 있는 개념도 함께 나옵니다.
먼저, 유리함수에 대해 알기 위해 지금까지 배웠던 유리어쩌구를 복습해보겠습니다.
먼저 유리수란 분수형태(각각 분모,분자가 정수인, 분모는 0이면 안됨)로 쓸 수 있는 수들을 말합니다.
유리식도 이와 비슷한데, 분모 분자에 각각 다항식이 들어가는 형태를 '유리식이다~'라고 부릅니다.
유리식, 다항식, 상수의 포함관계를 굳이 따져보자면
유리식의 범위가 가장 크고 그 안에 다항식, 다항식 안에 상수가 포함됩니다.
근데 이거는 굳이 구분하고 나오고 그럴일은 아마 없을 것입니다. 그냥 들어만 두세요.
유리식 계산에서 나오는 것은 다항식이 아닌 유리식이 주로 나올 것임.
유리수의 계산처럼 분모를 통분해서 하면 됩니다.
문자로 이루어진 식일 뿐, 계산에 있어서 차이가 되는 부분은 없습니다.
다만, 곱셈공식을 이용해 표현하고, 약분될 수 있는 부분은 약분까지 해서 가장 간단한 형태로 나타나는 것이 좋겠죠
자, 그럼 유리함수는 뭐냐, y=유리식 이런 형태인 겁니다.
즉, 함수의 형태가 유리식으로 나타나는 경우를 유리함수라고 부릅니다.
저희는 그 중에서도 분모가 일차식인 유리함수만 다루니, 그 기본형만 알면
교과과정에서 나오는 모든 유리함수를 그릴 수 있습니다.
그림으로 유리함수 y=a/x의 일반적인 개형을 a의 값에 따라 그려 두었습니다.
a가 양수일 때와 음수일 때로 나눠서 그렸는데,
대칭이동을 생각한다면, 당연한 결과겠죠~
앞에서 보았던 분모가 일차식인 유리함수 기본 형태를 평행이동하여 만들어 낼 수 있는 형태를 일반형이라고 부릅니다.
자, 이제 그걸 이 함수의 특성이 잘 보이게 다시 적으면 됩니다(표준형꼴).
결국 위에서 그려본 y=a/x의 그래프를 평행이동 한 게 우리가 배우는 모든 유리함수입니다.
평행이동 할 때, 당연히 점근선도 같이 움직입니다.
역함수를 알고 있다면, 유리함수의 역함수를 당연히 알겠죠~
우리가 역함수 단원에서 배운 역함수 구하는 방법으로 역함수를 구할 수도 있습니다.
하지만, 역함수는 결국 y=x 대칭 함수이고, 따라서 점근선이 어떻게 바뀌느냐를 생각하면
보다 빠르고 쉽게 역함수를 구할 수 있습니다.
유리함수의 역함수 구하기
다음은, 무리함수에 앞서 무리수와 무리식에 대해 알아보겠습니다.
우리수란 실수에서 유리수를 제외한 수를 말합니다.
루트2, 파이 등등이 저희에게 친숙한 무리수죠~
무리식이란
근호안에 문자가 있는 식을 말합니다(간단하게 만들었을 때/근호안에 완전제곱식이 들어있으면 무리식 아니죠).
무리식의 연산은 주로 분모 유리화를 해서 하는 형태로 많이 나옵니다.
무리함수란 함수의 형태가 무리식으로 나타나는 경우를 말합니다.
정의역과 치역을 주의해야 하는데요, 특히 역함수를 구할 때 정의역과 치역이 바뀌므로,
처음 함수에서 정의역과 치역을 잘 구해놔야 합니다.
유리함수의 경우는 역함수를 구한 후 분모가 0이 되지 않는 부분이 자동적으로 정의역이 되고,
치역은 y점근선을 제외한 부분이지만,
무리함수의 경우는 역함수를 구해도 결과 함수만 보고 딱히 정의역, 치역이 어떻게 될 지 알 수 없기 때문에
원래 함수에서 정의역 치역을 구해둬야 합니다.
무리함수의 기본형입니다. 어디에 -가 붙느냐는 대칭이동을 따져보면 됩니다.
유리함수 때와 마찬가지로, 평행이동으로 생각합니다.
(이것은 모든 함수에서도 적용되는 이야기입니다.)
아까 위에서도 말했지만, 다시 한 번 강조하자면, 원래함수의 치역과 정의역을 꼭 구해놓으세요.
특히 학교에서 보는 서술형 시험 같은 경우는 이것이 감점요인이 될 수 있습니다.
모의고사 같은 경우에도, 역함수 그래프를 구해서 다른 함수와의 교점의 개수를 찾으라던가
이런문제를 내면, 정의역, 치역을 제대로 구해놓지 않았다면 틀린 답을 찾게 될 수도 있겠지요~